НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" Визначення характеристик об'єкту шляхом розв'язування системи лінійних рівнянь Інструкція до лабораторної роботи №16 з курсу "Алгоритмізація і програмування задач автоматизації" для студентів базового напряму 6.0925 "Автоматизація і комп'ютерно-інтегровані технології" Львів Львівська політехніка 2000 Укладачі: З.Теплюх, І.Ділай - кандидати техн.наук. Відповідальний за випуск: Є.Пістун, д.т.н., професор. Рецензенти: Г.Крих, І.Стасюк - кандидати техн.наук. Мета роботи: ознайомлення з методами опису рівноважних станів технічних об'єктів та засвоєння алгоритмів розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) методом Гауса і їх програмна реалізація в середовищах Turbo C++ і MATLAB. Основні відомості про розв'язування СЛАР методом Гауса До розв'язування СЛАР зводиться багато практичних задач науки і техніки. Зокрема для визначення значення параметрів технологічних об'єктів в стані рівноваги (наприклад, систем гідравлічних систем) використовують перехід від систем нелінійних алгебраїчних рівнянь (СНАР), що описують поведінку об'єкту до СЛАР. Це зумовлено складністю знаходження розв'язку СНАР багатьох змінних (стан об'єкту характеризується багатьма технологічними параметрами), а також певними труднощами у заданні її початкового (нульового наближення) розв'язку. Заміна СНАР, що описує технологічний об'єкт, на СЛАР значно спрощує знаходження розв'язку, т.т. значень параметрів технологічного об'єкту. Слід зауважити, що заміна СНАР СЛАР є певним спрощенням, що приводить до отримання неточного (наближеного) розв'язку значень параметрів технологічного об'єкту, але для наближеної оцінки цього в багатьох випадках буває достатньо, при чому розв'язок СЛАР знайти значно легше, оскільки теорія розв'язування систем СЛАР на сьогодні розроблена значно краще, ніж СНАР. Методи розв'язування СЛАР можна розділити на дві групи - прямі та ітераційні. Прямі методи використовують кінцеві співвідношення (формули) для обчислення невідомих СЛАР. З їх допомогою розв'язок отримують після виконання наперед відомого числа операцій. Ці методи відносно прості і найбільш універсальні, т.т. придатні для розв'язування широкого класу лінійних систем. Але ці методи мають також свої недоліки та обмеження, а саме: як правило, вимагають зберігання в оперативній пам'яті ЕОМ всієї матриці коефіцієнтів; нагромадження похибок в процесі розв'язання, оскільки обчислення на кожному етапі використовують результати попередніх операцій. Прямі методи в зв'язку з цим використовують для відносно невеликих (n<200) СЛАР з щільно заповненою матрицею і не близьким до нуля значенням визначника, складеного з коефіцієнтів при невідомих. До прямих методів розв'язування СЛАР відносять: правило Крамера, метод Гауса, метод прогонки та інші. Ітераційні методи - це методи послідовних наближень. В них необхідно задати деякий наближений розв'язок - початкове наближення. Після цього за допомогою деякого алгоритму проводиться один цикл обчислень, що називається ітерацією. В результаті ітерації знаходять нове наближення (розв'язок). Ітерації проводять до отримання розв'язку СЛАР з заданою точністю. Алгоритми знаходження розв'язку СЛАР звичайно є більш складними в порівнянні з прямими методами. Але також мають і свої переваги. До ітераційних методів розв'язування СЛАР відносять, наприклад, метод Гауса-Зейделя та інші. Метод Гауса розв'язування СЛАР Найбільш поширеними серед прямих методів є метод Гауса та його модифікації. Метод Гауса базується на зведенні матриці коефіцієнтів при шуканих невідомих до трикутного виду. Це досягається послідовним виключенням невідомих із рівнянь системи. Спочатку з допомогою першого рівняння виключають шукану змінну
із решти рівнянь (
). Далі з допомогою другого рівняння виключають змінну
з решти рівнянь (
). Цей процес називається прямим ходом методу Гауса і продовжується доти, поки в лівій частині останнього
рівняння не залишиться лише один член з невідомою змінною...